Đề thi chọn học sinh giỏi văn hoá cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Nguyễn Thị Mai Hương (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn học sinh giỏi văn hoá cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Nguyễn Thị Mai Hương (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn: Toán Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu 1. (2,0 điểm) 2 2 x 2 x 2 Cho biểu thức: A x 2 : 2 ( x 0; x 2 ) 3x x 2 3x x a) Rút gọn A . b) Tìm số nguyên x để A là số nguyên. Câu 2. (2,0 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử B 2x3 y 6x2 y 4xy b) Xác định đa thức f x biết f x chia hết cho 2x 1 , chia cho x 2 thì dư 6 , chia cho 2x2 5x 2được thương là x 2 và còn dư. Câu 3. (2,5 điểm) a) Tìm các số tự nhiên x sao cho x2 2x 200 là một số chính phương. b) Tìm x biết 3x 2 x 1 2 3x 4 8 Câu 4. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC , đường cao AH . a) Chứng minh AC2 BC  HC . b) Lấy điểm I thuộc AH . Kẻ đường thẳng đi qua B và vuông góc với CI tại K . Chứng minh rằng CH CB CI CK . c) Tia BK cắt tia HA tại D . Chứng minh rằng B· HK B· DC . ----------HẾT---------
2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn: Toán HDC chỉ nêu một cách giải, học sinh có cách giải khác đảm bảo theo yêu cầu của bài toán, đảm bảo logic, kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa. Câu Nội dung Điểm 2 2 x 2 x 2 a) Ta có: A x 2 : 2 3x x 2 3x x 2 2 x 2 2 : 0,5 3x 3x x2 x2 2x2 2. . x 2 x 2 0,5 2x2 Vậy A với x 0; x 2 . x 2 1 2 2x2 2 x 4 8 2 x 2 x 2 8 8 (2,0 b) Ta có: A 2 x 2 điểm) x 2 x 2 x 2 x 2 8 Với x ¢ để A có giá trị là một số nguyên thì có giá trị là 0,5 x 2 một số nguyên 8x 2 x 2 Ư(8) 1; 2; 4; 8 . Ta có bảng sau: x 2 - 8 -4 -2 - 1 2 4 8 1 x -6 -2 0 1 3 4 6 10 0,5 Kết hợp với ĐKXĐ ta có x 6;1;3;4;6;10 . a) B 2x3 y 6x2 y 4xy 2xy x2 3x 2 2xy x2 2x x 2 0,5 0,5 2xy x 1 x 2 b) Vì f x chia cho 2x2 5x 2được thương là x 2 và còn dư nên ta có 2 f x x 2 2x 5x 2 ax b 0,25 Vì f x chia cho x 2 thì dư 6 nên 2 f 2 6 2 2 2.22 5.2 2 a.2 b 6 (2,0 điểm) 2a b 6 1 0,25 Vì f x chia hêt cho 2x 1nên 2 1 1 1 1 1 f 0 2 2 5. 2 a. b 0 2 2 2 2 2 a 2b 0 a 2b 2 0,25 Thay a 2b vào 1 ta được 2 2b b 6 3b 6 b 2
3. a 2b 2. 2 4 0,25 Vậy f x x 2 2x2 5x 2 4x 2 a) Giả sử x2 2x 200 a2 a ¥ ,a 14 2 0,5 Suy ra a2 x 1 199 a x 1 a x 1 199.1 Vì a x 1 a x 1 nên 0,5 a x 1 199 a x 198 a x 1 1 a x 2 x 198 2 : 2 98 0,5 . a 198 2 : 2 100 Vậy x 98 . b) 3 3x 2 x 1 2 3x 4 8 (2,5 . điểm) 3x 2 x 1 x 1 3x 4 8 3x2 5x 2 3x2 5x 4 8 1 0,25 Đặt t 3x2 5x 2 2 t 2 0 t 2 1 t. t 2 8 t 2t 8 0 t 2 t 4 0 0,25 t 4 0 t 4 Với x 0 x 0 2 2 t 2 3x 5x 2 2 3x 5x 0 x 3x 5 0 5 0,25 3x 5 0 x 3 Với t 4 3x2 5x 2 4 3x2 5x 6 0 vô nghiệm. 0,25 5 Vậy x 0;  3 4 (3,5 điểm)
4. a) Chứng minh AC2 BC  HC . Ta có AH là đường cao của tam giác ABC . ·AHC 90 . 0,5 Xét tam giác AHC và tam giác BAC có Cµ chung · · AHC BAC 90 0,5 Vậy AHC∽ BAC g g AH AC HC AB BC AC AC2 BC  HC (đpcm) 0,5 b) Lấy điểm I thuộc AH . Kẻ đường thẳng đi qua B và vuông góc với CI tại K . Chứng minh rằng CH CB CI CK . Ta có BK vuông góc với CI tại K . 0,25 B· KC 90 . Xét tam giác CHI và tam giác CKB có Cµ chung C· HI C· KB 90 0,25 Vậy CHI ∽ CKB g g CH CI HI CK BC KB 0,5 CH CB CI CK (đpcm) c) Tia BK cắt tia HA tại D . Chứng minh rằng B· HK B· DC . CH HI Ta có (cmt) CK KB BK HI (1) BC CI Xét tam giác CHI và tam giác DKI có C· IH D· IK (đối đỉnh) C· HI D· KI 90 Vậy CHI ∽ DKI g g HI KI 0,25 (2) CI DI Xét tam giác DHB và tam giác DKI có Dµ chung D· HB D· KI 90 Vậy DHB∽ DKI g g HB KI (3) DB DI 0,25 BK BH Từ (1), (2), (3) suy ra . BC BD Xét tam giác BHK và tam giác BDC có Bµ chung BK BH 0,25 (cmt) BC BD Vậy BHK ∽ BDC c g c 0,25
5. B· HK B· DC (đpcm) GV ra đề Nguyễn Thị Mai Hương